凱利公式

出處：凱利公式

在機率論中，凱利公式（也稱凱利方程式）是一個用以使特定賭局中，擁有
正期望值之重複行為長期增長率最大化的公式，由約翰·拉里·凱利於 1956 年
在《貝爾系統技術期刊》中發表，可用以計算出每次遊戲中應投注的資金比
例。除可將長期增長率最大化外，此方程式不允許在任何賭局中，有失去全
部現有資金的可能，因此有不存在破產疑慮的優點。方程式假設貨幣與賭局
可無窮分割，而只要資金足夠多，在實際應用上不成問題。

凱利公式的最一般性陳述為，藉由尋找能最大化結果對數期望值的資本比例
f*，即可獲得長期增長率的最大化。對於只有兩種結果（輸去所有注金，或
者獲得資金乘以特定賠率的彩金）的簡單賭局而言，可由一般性陳述導出以
下式子：

f* = p - q/b　　

其中
f* 為現有資金應進行下次投注的比例；
b 為投注可得的賠率；
p 為獲勝率；
q 為落敗率，即 1 - p；

舉例而言，若一賭博有 40% 的獲勝率（p = 0.4，q = 0.6），而賭客在贏得
賭局時，可獲得二對一的賠率（b = 2），則賭客應在每次機會中下注現有
資金的 10%（f* = 0.1），以最大化資金的長期增長率。

凱利公式最初為 AT&T 貝爾實驗室物理學家約翰·拉里·凱利根據同僚
克勞德·艾爾伍德·夏農於長途電話線雜訊上的研究所建立。凱利說明夏農的
資訊理論要如何應用於一名擁有內線消息的賭徒在賭馬時的問題。賭徒希望
決定最佳的賭金額，而他的內線消息不需完美（無雜訊），即可讓他擁有有
用的優勢。凱利的公式隨後被夏農的另一名同僚 愛德華·索普應用於二十一點
和股票市場中。

1738年丹尼爾·伯努利曾提出等價的觀點，可是伯努利的文章直到1954年才首
次譯成英語。不過對於只投資一次的人來說，應選擇算術平均最高的投資組合。

Kelly Value and Equity Curve of a trading system